Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS
untuk Meningkatkan Kualitas Perkuliahan Aljabar Abstrak

I Made Arnawa1)
Hendra syarifuddin2)
Muhafzan1) 

Abstract
The focus of the research is to develop a prototype of Abstract Algebra learning material base on APOS theory. APOS theory using ACE teaching cycle that consists of three components: activities, classroom discussion, and exercises. The type of this research is a developmental research. Procedure in this research consists of need assessment, literature review of APOS theory and Abstract Algebra curriculum, designing the prototype of learning material, and evaluation. The research is conducted in one year focusing on producing a valid learning material. The designed prototype was validated by two qualified Abstract Algebra reviewers. The reviewers state that the designed prototype fulfilled the criteria of content and construct validity. 
Key words: APOS theory, learning material, abstract algebra

I. PENDAHULUAN
Matakuliah Aljabar Abstrak merupakan salah satu matakuliah dalam kurikulum program studi matematika di seluruh perguruan tinggi di Indonesia. Khususnya di Jurusan Matematika FMIPA UNAND, disamping kedudukannya sebagai matakuliah wajib, matakuliah Aljabar Abstrak yang disajikan pada semester V, juga merupakan matakuliah transisi dari matakuliah-matakuliah pada semester sebelumnya yang lebih menekankan pada ketrampilan komputasional seperti Kalkulus dan Aljabar Linear Elementer, ke matakuliah-matakuliah yang lebih menekankan pada penalaran deduktif murni seperti Topologi, Aljabar Linear Abstrak, dan Kapita Selekta Aljabar. Konsep-konsep yang dibahas dalam perkuliahan Aljabar Abstrak seperti konsep fungsi dan invers sebenarnya sudah dibahas pada perkuliahan Kalkulus dan Aljabar Linear Elementer, tetapi masih menekankan pada ketrampilan komputasional. Melalui perkuliahan Aljabar Abstrak, pemahaman mahasiswa tentang konsep fungsi, konsep invers, dan sebagainya akan diperdalam, terutama dari sudut pandang yang lebih abstrak yang lebih menekankan pada penalaran deduktif murni. 
Pembelajaran Aljabar Abstrak yang dilaksanakan di jurusan Matematika  FMIPA UNAND dewasa ini masih cendrung berlangsung satu arah, yaitu dari dosen ke mahasiswa. Umumnya, pola pembelajaran pada setiap pertemuan yang diterapkan oleh dosen adalah: menjelaskan definisi atau teorema, memberikan contoh-contoh yang berkaitan dengan definisi atau membuktikan teorema, memberikan latihan, dan di akhir pembelajaran dosen memberikan tugas (PR), pola pembelajaran seperti ini disebut pola pembelajaran konvensional. Pada pembelajaran secara konvensional, mahasiswa pada umumnya bersikap pasif selama pembelajaran (mereka kurang berani untuk mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang mereka miliki), dosen mendominasi kegiatan kelas, pembelajaran terpusat pada dosen, dan orientasi dosen lebih banyak tercurah pada target tercapainya materi perkuliahan. Dengan metode pembelajaran seperti ini, jelas pembelajaran yang dilaksanakan kurang bermakna, dan tidak jarang suatu konsep hanya dipahami sebagai hafalan (bukan sebagai pengertian). Akibatnya, konsep tersebut mudah dilupakan dan bahkan sering suatu konsep matematika dipahami secara keliru oleh mahasiswa. Semua ini pada akhirnya menyebabkan mahasiswa tidak dapat menerapkan dengan baik konsep-konsep yang telah dipelajarinya dalam menyelesaikan soal-soal latihan.
Paradigma pembelajaran kontemporer menyatakan bahwa fungsi pembelajaran matematika bukan sebagai pengembangan keterampilan belaka tetapi harus memenuhi empat prinsip yaitu: matematika sebagai alat untuk mengembangkan penalaran, mengembangkan kemampuan pemecahan masalah, alat komunikasi, dan koneksi antar konsep-konsep dalam matematika (NCTM, 2001). Hingga saat ini latihan keterampilan bernalar, memecahkan masalah,  berkomunikasi, dan koneksi dalam matematika belum membudaya. Kebanyakan mahasiswa terbiasa melakukan kegiatan belajar dengan mendengarkan penjelasan dosen, menyalinnya, dan kemudian menghafalkannya. Untuk menyikapi persoalan ini peneliti menyakini perlu dilakukan upaya pengembangan perangkat pembelajaran yang berdasarkan paham konstruktivisme. Menurut paham konstruktivisme, keterampilan penalaran,  memecahkan masalah, berkomunikasi, dan koneksi dalam matematika dapat dikembangkan jika mahasiswa terlibat secara aktif dan kolaboratif dalam melakukan kegiatan matematika (doing math) (Slavin, 1994). 
Bahan ajar (buku teks) yang digunakan dosen pun tidak mendukung untuk penciptaan suasana belajar yang kondusif. Buku teks lebih banyak digunakan sebagai buku pegangan dosen, dosen meyajikan pelajaran persis sama dengan apa yang ada pada buku teks. Dosen belum merancang perangkat pembelajaran yang mampu mengakomodasi kebutuhan mahasiswa untuk belajar secara aktif dan kolaboratif serta sesuai dengan tahapan-tahapan konstruksi mental yang mahasiswa lakukan dalam belajar matematika.
Selanjutnya, juga dapat dilihat bahwa buku teks yang beredar belum memfasilitasi mahasiswa untuk dapat mengkonstruksi sendiri pengetahuannya. Isi buku teks pada umumnya lebih banyak menyajikan definisi dan teorema dalam bentuk yang sudah jadi, ini tentu saja bertentangan dengan paham konstruktivisme, yaitu definisi dan teorema itu harus dikonstruksi (ditemukan kembali) oleh mahasiswa. Disamping itu, uraian yang ada pada buku teks (terutama untuk pembuktian teorema) cendrung membuat mahasiswa ”menghafal-mati” bukti tersebut, karena tidak setiap langkah pembuktian dalam buku teks tersebut disertai dengan penalaran deduktifnya atau biasanya dianggap jelas oleh penulis buku. 
Mengingat pentingnya posisi matakuliah Aljabar Abstrak sebagai matakuliah transisi yang akan menentukan berhasil tidaknya mahasiswa beralih kemampuan dari ketrampilan komputasional semata ke ketrampilan penalaran deduktif, maka peneliti meyakini perlunya mengembangkan perangkat pembelajaran yang dapat meningkatkan kualitas perkuliahan Aljabar Abstrak yang meliputi kualitas hasil belajar dan kualitas proses belajar, dengan mengacu kepada paradigma pembelajaran modern.  
Teori APOS yang dikembangkan oleh Dubinsky (Dubinsky & McDonald,2001) merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang dikhususkan untuk pembelajaran matematika di tingkat perguruan tinggi, yang mengintegrasikan penggunaan komputer, belajar dalam kelompok kecil, dan memperhatikan konstruksi-konstruksi mental yang dilakukan mahasiswa dalam memahami suatu konsep matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah: aksi (action), proses (process), objek (object), dan skema (schema) yang disingkat dengan APOS. Teori APOS pada dasarnya menganut paham konstruktivisme, khususnya konstruktivisme yang dikembangkan oleh Vygotsky, yaitu konstruktivisme sosial. Menurut Dubinsky & McDonald (2001), pengetahuan dan pemahaman matematika yang dimiliki mahasiswa merupakan hasil konstruksi dan interaksi mahasiswa tersebut dengan orang lain dalam berhadapan dengan persoalan-persoalan matematika. Pengetahuan dan pemahaman matematika dikonstruksi mahasiswa melalui tahapan konstruksi mental: aksi, proses, objek, dan skema (APOS), sedangkan interaksi antar mahasiswa dimaksudkan untuk mengembangkan apa yang oleh Vygotsky disebut sebagai zone of proximal development (ZPD), yaitu jarak antara tingkat perkembangan sesungguhnya (didefinisikan sebagai kemampuan pemecahan masalah secara mandiri) dengan tingkat perkembangan potensial (didefinisikan sebagai kemampuan pemecahan masalah di bawah bimbingan orang dewasa atau melalui kerja sama dengan teman sejawat yang lebih mampu) (Suharta, 2002). 
Untuk mengakomodasi pembelajaran berdasarkan teori APOS, diperlukan perangkat pembelajaran yang dirancang secara baik dan benar sesuai falsafah Teori APOS, sehingga memungkinkan mahasiswa untuk belajar secara aktif dan kolaboratif serta sesuai dengan tahapan-tahapan konstruksi mental yang mereka lakukan dalam belajar matematika. 

II. STUDI PUSTAKA
2.1 Aljabar Abstrak
Aljabar abstrak dibangun dari beberapa aksioma yang memungkinkan kita memandang berbagai sistem matematika pada tingkat persekolahan sebagai suatu hal yang khusus dari suatu sistem matematika yang lebih abstrak. Group merupakan salah satu sistem matematika yang abstrak yang tertua dan paling sederhana yang dibangun oleh beberapa aksioma yang disebut aksioma group (Bourbaki dalam Findel, 2001). Sebagai contoh, perhatikan empat sistem matematika berikut.
1.	Himpunan bilangan bulat { …, -3,-2,-1,0,1,2,3,…} terhadap operasi penjumlahan, sistem matematika ini dinotasikan dengan Z.
2.	Himpunan semua bilangan-bilangan yang lebih kecil dari n, {0,1,2,3,…, n-1}
 terhadap operasi penjumlahan modulo n. Sistem matematika ini dinotasikan
 dengan Zn.
3.	Himpunan semua translasi pada bidang terhadap operasi komposisi.
4.	Himpunan semua matriks 2x2 yang entri-entrinya bilangan real dengan determinan 1 terhadap operasi perkalian matriks.
Masing-masing sistem matematika ini terdiri dari himpunan unsur-unsur (bilangan, matriks, atau translasi) dan suatu operasi tertentu yang memasangkan dua buah unsur dalam himpunan itu dengan suatu unsur yang juga dalam himpunan itu. Karena operasinya bekerja pada dua unsur (memasangkan dua unsur dengan suatu unsur) maka operasinya disebut operasi biner. Agar kita dapat membahas  contoh-contoh tadi secara simultan, operasinya kita notasikan dengan *, dimana notasi ini dapat menyatakan operasi penjumlahan, operasi penjumlahan modulo n, operasi komposisi, dan operasi perkalian matriks, sedangkan himpunannya kita notasikan dengan G, dimana notasi ini masing-masing dapat menyatakan himpunan bilangan bulat, himpuan bilangan modulo n, himpunan translasi pada bidang, dan himpunan matriks 2x2 yang entri-entrinya bilangan real.   
Kita dapat memeriksa bahwa masing-masing sistem matematika pada contoh di atas memenuhi aksioma-aksioma berikut,
1.	Asosiatif. Untuk setiap x,y,z di G (tidak perlu berbeda), berlaku (x*y)*z = x*(y*z).    
2.	Identitas. Terdapat suatu unsur di G, dinyatakan sebagai e sedemikian sehingga untuk setiap x di G, berlaku e*x = x = x*e. ( pada penjumlahan bilangan bulat, unsur identitasnya adalah 0; pada penjumlahan modulo n unsur identitasnya adalah 0; pada tranlasi bidang, unsur identitasnya adalah translasi yang mentranslasikan setiap titiknya tetap pada titik titik itu sendiri; pada perkalian matriks, unsur identitasnya adalah matriks identitas).
3.	Invers. Untuk setiap unsur x di G, terdapat suatu unsur y di G sedemikian sehingga berlaku x*y = e = y*x.
4.	Tutup, Setiap x,y di G, maka x*y juga di G.    
Setiap himpunan dan operasi biner yang memenuhi keempat aksioma diatas disebut group. Jika operasinya juga komutatif, maka disebut group komutatif. 
Hasil-hasil penting dalam teori group bergantung kepada sekumpulan konsep-konsep yang saling berhubungan. Sebagai contoh, subgroup adalah himpunan bagian dari group yang juga membentuk group terhadap operasi yang sama.  Selanjutnya, konsep isomorfisma dapat dipakai untuk melihat ada tidaknya perbedaan struktur yang dimiliki oleh dua buah group. Pada tataran yang lebih tinggi, aksioma group mendefinisikan suatu struktur aljabar yang dapat dipakai untuk berbagai sistem matematika. Sedangkan pada tataran yang lebih rendah, setiap group merupakan sistem matematika yang mempunyai struktur internal tersendiri. Suatu abstraksi penting dapat terjadi apabila dua buah group tampak mempunyai struktur internal yang berbeda tetapi esensinya sama. Jika dua buah group secara struktur sama, yaitu jika kedua group hanya dibedakan oleh nama unsur dan nama operasinya, maka kedua group itu disebut isomorfik. Untuk menunjukkan bahwa dua buah group isomorfik, kita harus dapat menemukan penamaan kembali unsur-unsur dalam group yang dapat mengawetkan operasi binernya, penamaan kembali pada esensinya adalah suatu fungsi yang memetakan suatu unsur di suatu group ke unsur di group yang lain, fungsi seperti ini disebut isomorfisma (Herstein, 1975; Dubinsky & Leron, 1994). 
Sturktur matematika yang lain yang juga penting dalam Aljabar Abstrak adalah gelanggang (ring) dan lapangan (field). Dalam teori ring, terdapat dua operasi biner yang biasanya disebut sebagai operasi perkalian dan penjumlahan, beberapa sistem matematika yang mempunyai struktur ring antara lain: himpunan bilangan bulat, himpunan matriks, dan himpunan polinom. Lapangan pada dasarnya adalah ring dengan beberapa sifat tambahan yaitu: (1) komutatif terhadap operasi penjumlahan dan (2) Setiap unsurnya (kecuali unsur nol) mempunyai invers terhadap operasi kali. Beberapa sistem matematika yang mempunyai struktur lapangan antara lain: himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan real, himpunan bilangan kompleks, dan himpunan bilangan bulat modulo n dengan n bilangan prima. 
2.2 Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS
Ada beberapa hal yang dapat dipandang sebagai karakteristik pembelajaran berdasarkan teori APOS, yaitu pembelajarannya meliputi/mengikutsertakan: (1) pengetahuan dikonstruksi mahasiswa melalui konstruksi mental APOS, (2) menggunakan komputer, (3) mahasiswa belajar dalam kelompok kecil, (4) menggunakan siklus ACE (activity, class discussion, excercise) (Arnawa, 2007). Berikut ini adalah deskripsi untuk masing-masing karakteristik tersebut. 
a. Pengetahuan Dikonstruksi melalui Konstruksi Mental APOS
Teori APOS yang dikembangkan oleh Dubinsky dan koleganya merupakan hasil elaborasi dari abstraksi reflektif yang diperkenalkan oleh Piaget dalam menjelaskan perkembangan berpikir logis pada anak-anak. Dubinsky memperluas ide ini untuk menjelaskan perkembangan berpikir matematika tingkat tinggi pada mahasiswa (Dubinsky, 1991). Teori APOS mengasumsikan bahwa pengetahuan matematika yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil konstruksi-konstruksi mental orang tersebut dalam memahami ide-ide matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah: aksi (action), proses (process), objek (object), dan skema (schema) yang disingkat dengan APOS. Sering sejumlah konstruksi merupakan rekonstruksi dari sesuatu yang sudah ada, tetapi rekonstruksinya tidak persis sama seperti yang sudah ada sebelumnya. Istilah konstruksi dan rekonstruksi yang dimaksudkan di sini mirip dengan istilah akomodasi dan asimilasi dari Piaget (Asiala et al., 1997). Teori APOS sangat baik digunakan untuk memahami pembelajaran mahasiswa dalam berbagai topik matematika di perguruan tinggi, seperti kalkulus, aljabar abstrak, statistik, matematika diskrit dan sebagainya (Dubinsky & McDonald, 2001).
b.	Menggunakan Komputer
Mahasiswa   pada   umumnya   mengalami   kesulitan   dalam   memahami konsep-konsep matematika tingkat tinggi seperti limit, fungsi kontinu, dan aljabar abstrak untuk pertama kalinya, sehingga dosen yang mempunyai pengetahuan matematika dan pengetahuan teori belajar, dapat memainkan peranan yang sangat mendasar dengan mengidentifikasi ide-ide  ampuh dalam matematika agar dapat disajikan dengan cara yang lebih bermakna kepada mahasiswa, misalnya melalui penggunaan komputer.   
Dalam memahami suatu konsep matematika, mahasiswa melakukan konstruksi-konstruksi mental aksi, proses, objek, dan skema. Konstruksi-konstruksi mental ini dapat dibantu melalui aktivitas yang menggunakan komputer (Ayers et al., 1988). Dalam mengkonstruksi pengetahuan, dosen dapat membantu mahasiswa melalui pendekatan pembelajaran yang didesain untuk menstimulasi terjadinya konstruksi-konstruksi mental yang diharapkan. Menurut Dubinsky & Tall (1991), ini dapat dilakukan melalui: (1) penyediaan software komputer yang ampuh dalam memunculkan ide-ide matematika sehingga mahasiswa dapat mengelaborasi dan melakukan refleksi pada aktivitas komputer, (2) membuat program-program komputer dalam bahasa pemrograman yang sesuai, sehingga kegiatan pemrograman ini berjalan beriringan dengan usaha mahasiswa untuk membuat konstruksi mental proses. 
Komputer juga dapat membuat konsep-konsep matematika menjadi lebih bermakna bagi mahasiswa, karena melalui aktivitas komputer (mengeksplorasi contoh dan bukan contoh yang berhubungan dengan konsep-konsep yang sedang dipelajari) mahasiswa dapat melihat konsep-konsep matematika yang abstrak dari sisi konkritnya, sehingga mahasiswa dapat dibantu memahami konsep-konsep abstrak tersebut. Ketika suatu ide yang abstrak dimunculkan di layar komputer, maka itu akan menjadi konkrit dalam pikiran mahasiswa. Semua ini dapat dilakukan melalui penyediaan tugas-tugas pemrograman sehingga konstruksi-konstruksi mental yang dibuat “ampuh” dalam meningkatkan pengetahuan dan pemahaman matematika. Lebih dari itu, melalui pemrograman komputer mahasiswa dapat melakukan refleksi (bagaimana komputer melakukan itu) dan proses apa yang dilibatkannya (Dubinsky & Tall, 1991).  
Menurut Shute & Grendell (1994)  dan Leron & Dubinsky (1995), melalui  pengalaman (aktivitas laboratorium/doing math) pengetahuan akan bertahan lama dalam pikiran mahasiswa, karena pengalaman dapat membantu mengembangkan struktur kognitif. Disamping itu, pembelajaran yang menggunakan komputer sangat dinikmati oleh mahasiswa dan membangkitkan motivasi mahasiswa. Dalam hubungannya dengan pembuktian dalam matematika, komputer dapat dipakai sebagai alat untuk memeriksa kebenaran atau kesalahan suatu konjektur, terutama yang pembuktiannya membutuhkan waktu yang sangat lama kalau dikerjakan secara manual ( Hanna & Jahnke, 1996, Shute & Grendell, 1994).  
ISETL (interactive SET language) adalah bahasa pemrograman yang dirancang untuk pembelajaran matematika. Dubinsky dan koleganya menemukan bahwa dengan memberikan mahasiswa mengkonstruksi program-program dalam ISETL dapat menggiring mereka pada konstruksi-konstruksi ide matematika pada pikirannya dan dengan demikian dapat memahami berbagai konsep-konsep matematika (Ayers et al.,1988; Dubinsky, 1986; 1990). Lembar kerja untuk aktivitas di laboratorium komputer dirancang berdasarkan dekomposisi genetik untuk suatu konsep matematika. Dalam perspektif pembelajaran dengan teori APOS, mahasiswa “diceburkan” secara sengaja ke dalam lingkungan ketidakseimbangan yang memuat sebanyak mungkin materi yang akan dipelajari. Dengan pengetahuan awal yang dimilikinya setiap mahasiswa (atau kelompok kecil) mencoba untuk memahami permasalahannya, yaitu mereka mencoba menyelesaikan masalah, menjawab pertanyaan atau memahami gagasannya (Asiala et al., 1997). 
Di laboratorium komputer mahasiswa bekerja bersama dalam kelompok kecil yang terdiri dari 2 sampai 4 orang. Kode-kode komputer yang mereka ketik melalui keyboard tampak sebagai pernyataan-pernyataan matematika yang standar, sehingga mahasiswa tidak akan mengalami kesulitan memahami apa yang mereka ketik, walaupun misalnya mahasiswa itu belum begitu familiar dengan komputer. Sebelum menekan tombol run, yang menginstruksikan komputer untuk menjalankan kode-kode komputer yang mereka buat, mahasiswa akan terlibat dalam diskusi yang seru dalam usahanya untuk mencoba meramalkan apa hasil yang akan ditampilkan oleh komputer. 
Konsep group yang dipelajari dengan cara menghapalkan definsi group tidaklah bermakna bagi mahasiswa. Agar bermakna, konsep group harus dikonstruksi dalam pikiran mahasiswa. Menurut Leron & Dubinsky (1995), pembelajaran yang paling utama terjadi pada saat mahasiswa menuliskan fungsi is_group dan fungsi lainnya pada komputer. Ketika mahasiswa diminta untuk menuliskan konsep group pada komputer, maka pada kesempatan yang sama akan terjadi konstruksi mental dalam pikiran mahasiswa.  
Penggunaan komputer dalam pembelajaran matematika di tingkat perguruan tinggi, terutama yang pembelajarannya berlangsung secara online memiliki beberapa keuntungan, yaitu: (1) mahasiswa dapat belajar kapan saja mereka mau dan (2) mahasiswa dapat memilih materi-materi tertentu yang mereka belum pahami (Engelbrecht & Harding, 2005). 
c.	Mahasiswa Belajar dalam Kelompok Kecil 
Ada konsep-konsep matematika yang terasa sulit bagi kita kalau dipelajari secara sendiri-sendiri dan terasa lebih mudah kalau dipelajari bersama orang lain. Oleh karena itu, Vygotsky (Enyedy, 2003; Leitze, 1996), mengusulkan agar fungsi-fungsi psikologi tingkat tinggi (misalnya penalaran dalam matematika tingkat tinggi) didahului dengan mengadakan interaksi sosial sebelum diinternalisasi (diinteriorisasi) oleh masing-masing individu. Konteks sosial yang merupakan acuan teori APOS, diimplementasikan dalam pembelajaran melalui belajar dalam kelompok kecil. Mahasiswa dikelompokkan di awal semester kedalam kelompok-kelompok kecil yang terdiri dari 2 sampai 4 orang untuk mengerjakan semua tugas-tugas perkuliahan seperti praktikum, diskusi kelas, pekerjaan rumah, dan latihan-latihan soal secara bersama-sama (Asiala et al., 1977). 
Seting pembelajaran dalam kelompok kecil memenuhi beberapa kriteria pembelajaran yang “baik” dinyatakan oleh Norman dan Chickering & Gasmon (Guskin, 1997), misalnya: (1) memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk berinteraksi secara aktif dalam pembelajaran dan memperoleh umpak balik dari proses pembelajaran, (2) mendorong mahasiswa untuk bekerja sama dengan mahasiswa lainnya dalam memahami konsep dan mengerjakan tugas-tugas, dan (3) alokasi waktu pembelajaran lebih diutamakan pada pengerjaan tugas-tugas. Khususnya dalam pembelajaran matematika (terutama aljabar abstak), hal yang hampir senada namun dengan penekanan yang berbeda  dikemukan oleh Smith (2004), bahwa dalam kelompok kecil terbuka kesempatan antar mahasiswa untuk saling mengajari satu sama lain. Usaha mengajari/menjelaskan sesuatu kepada kepada orang lain akan membantu mahasiswa tersebut untuk melihat sesuatu dengan lebih jelas dan bahkan dapat melihat inkonsistensi pandangan mereka sendiri (Suparno, 1997).    
Belajar dalam kelompok kecil, disamping untuk mengakomodasi salah satu pilar dalam pendidikan universal, yaitu learning to live together in peace and harmony, secara bersamaan juga membantu siswa/mahasiswa dalam meningkatkan pemahamannya. Ada banyak manfaat yang diperoleh siswa/mahasiswa (terutama siswa/mahasiswa dengan kemampuan sedang atau rendah) yang belajar dalam seting pembelajaran kelompok kecil, misalnya: (1) hasil belajar lebih tinggi (Slavin,1997 dan Lundgren dalam Ibrahim, 2000), (2) rasa harga diri menjadi lebih tinggi, sikap terhadap pelajaran menjadi lebih baik,  retensi lebih lama (Nur et al. dalam Ibrahim, 2000), dan (3) motivasi belajar lebih tinggi (Malone & Krismanto, 1993 ;  Lundgren dalam Ibrahim, 2000).  
Ketertarikan yang utama dari belajar dalam kelompok kecil adalah tersedianya kesempatan bagi mahasiswa untuk melakukan refleksi, yaitu terjadi melalui bentuk-bentuk interaksi komunikasi yang berupa negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, dan pertanyaan-pertanyaan. Bentuk-bentuk interaksi ini dapat terjadi karena mahasiswa pada umumnya lebih terbuka terhadap rekan-rekannya jika dibandingkan terhadap dosennya, sehingga selalu bersikap kritis dan mau beradu argumentasi antara sesama mahasiswa (Vidakovic dalam Dubinsky et al.,1994).  
Bagaimana cara mengelompokan mahasiswa? Dengan mengacu kepada:  (1) learning to live together in peace and harmony, yaitu bahwa mahasiswa yang mempunyai kemampuan lebih harus membantu mahasiswa yang kemampuannya sedang atau rendah dan (2) bahwa setiap anggota kelompok harus mempunyai kesempatan yang sama untuk berkontribusi dalam proses pembelajaran, artinya bahwa tidak boleh ada mahasiswa yang mendominasi kelompok (Tobin dalam Malone & Krismanto, 1993) maka pada penelitian ini ditetapkan suatu kelompok akan terdiri dari 3 sampai 4 orang dengan komposisi diusahakan seheterogen mungkin. Misalnya, untuk kelompok yang terdiri dari 3 orang, komposisi anggotanya adalah: 1 orang berasal dari mahasiswa dengan kemampuan tinggi, 1 orang dari mahasiswa dengan kemampuan sedang, dan 1 orang dari mahasiswa dengan kemampuan rendah. Sedangkan untuk kelompok yang terdiri dari 4 orang, komposisi anggotanya adalah: 1 orang berasal dari mahasiswa dengan kemampuan tinggi, 2 orang berasal dari mahasiswa dengan kemampuan sedang, dan 1 orang berasal dari mahasiswa dengan kemampuan rendah. Karena pembelajaran berdasarkan teori APOS menggunakan lembar kerja laboratorium dan lembar kerja diskusi kelas,  maka model aktivitas kelompok yang cocok untuk digunakan adalah model STAD (Student Teams Achievement Division), yaitu anggota kelompok saling membantu satu sama lain untuk memahami bahan pelajaran, misalnya melalui diskusi (Ibrahim, 2000). 
d.	Menggunakan Siklus Pembelajaran ACE
Strategi pembelajaran dalam teori APOS juga dimaksudkan agar mahasiswa mencoba untuk melakukan refleksi pada apa yang mereka kerjakan melalui keseluruhan struktur perkuliahan. Pendekatan pedagogi yang diperkirakan mendukung maksud ini adalah silklus pembelajaran ACE, yaitu: aktivitas (activities), diskusi kelas (class discussion), dan latihan (exercise). Dengan desain ini, perkuliahan dibagi menjadi beberapa sesi dan setiap sesi dilaksanakan selama seminggu. Dalam seminggu itu, kegiatannya meliputi kegiatan di laboratorium komputer dan kegiatan di ruang kelas. Pekerjaan rumah diberikan di luar jam kuliah (Asiala et al., 1997). 
	d.1. Aktivitas
Kegiatan mahasiswa di laboratorium komputer dalam mengerjakan tugas-tugas pemrograman secara berkelompok dimaksudkan untuk membantu konstruksi mental yang dirumuskan dalam dekomposisi genetik. Pengerjaan tugas-tugas pemrograman komputer tidak dibatasi waktunya (dapat dikerjakan diluar jadwal praktikum yang resmi). Tujuan utama kegiatan ini lebih ditekankan pada usaha untuk memberi mahasiswa suatu “pengalaman” daripada meminta mereka untuk memberikan jawaban yang benar. Melalui kegiatan ini mahasiswa memperoleh pengalaman yang berhubungan dengan ide-ide matematika yang akan dikembangkan di dalam perkuliahan. Pengalaman yang mahasiswa peroleh selama di laboratorium komputer akan merupakan bekal bagi mahasiswa yang bersangkutan agar dapat berperan aktif dalam diskusi kelas. Dengan berbekal pengalaman dari laboratoium komputer, konsep-konsep abstrak yang akan didiskusikan di kelas tidak sepenuhnya asing lagi bagi mahasiswa, melainkan dianggap sebagai suatu elaborasi terhadap pengalaman yang sudah dimiliki.  Menurut Leron & Dubinsky (1995), aktivitas di laboratorium komputer memberikan intuisi awal tentang topik yang akan dipelajari. 
 Dosen dalam menyajikan suatu pembuktian yang rumit, biasanya disertai dengan penjelasan-penjelasan yang sifatnya intuitif. Penjelasan-penjelasan intuitif ini akan bermakna bagi mahasiswa apabila ada hubungannya dengan pengalaman yang mahasiswa miliki. Intuisi adalah hasil dari pengalaman seseorang yang didasarkan atas aktivitas dan interaksi dengan orang lain. Intuisi yang disampaikan secara lisan oleh dosen, tidak selalu dapat menciptakan intuisi yang sama dalam pikiran mahasiswa. Mahasiswa perlu mengkonstruksi sendiri pengalamannya. Penjelasan lisan akan dapat membantu apabila mahasiswa telah mempunyai suatu pengalaman dasar. Pengalaman dasar ini akan membantu mahasiswa dalam mengelaborasi dan mengkonseptualisasikan sesuatu yang telah secara samar-samar mahasiswa ketahui melalui pengalaman laboratorium (Leron & Dubinsky, 1995).            
Ada beberapa bahasa pemrograman yang dapat dipakai untuk membuat tugas-tugas pemrograman, misalnya Mathematica, Maple, dan ISETL. Dari ketiga jenis bahasa pemrograman tersebut, bahasa pemrograman ISETL yang lebih dekat dengan notasi matematika yang standar (Asiala et al., 1997; Astuti et al., 2004).     
d.2. Diskusi Kelas
Kegiatan di ruangan kelas, dimana mereka masih bekerja berkelompok,  diisi dengan kegiatan berupa pengerjaan tugas-tugas yang masih berhubungan dengan kegiatan yang telah diberikan di laboratorium komputer. Keterlibatan dosen dalam diskusi pada masing-masing kelompok dimaksudkan untuk memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk melakukan refleksi pada apa yang sudah mereka kerjakan di laboratorium dan pada tugas yang sedang mereka kerjakan. Dalam diskusi kelas ini juga, dosen memberikan definisi, penjelasan, dan tinjauan untuk mengaitkan dengan apa-apa yang mahasiswa telah pikirkan (Asiala et al., 1997). Peran utama dosen dalam diskusi kelas adalah sebagai fasilitator/intervensi tidak langsung (Tall dalam Suryadi, 2005). 
d.3. Latihan    
Pada siklus ini, mahasiswa diberikan latihan-latihan untuk dikerjakan secara berkelompok, Sebagian besar dari latihan-latihan ini diharapkan dikerjakan diluar kegiatan kelas dan laboratorium. Latihan-latihan ini  bisa juga berupa pekerjaan rumah tentang tugas laboratorium. Maksud dari latihan-latihan ini adalah untuk mengokohkan konsep-konsep matematika yang telah dikonstruksi, menerapkan konsep-konsep yang sudah dipelajari, dan mahasiswa mulai diajak berpikir tentang hal-hal yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya (Asiala et al., 1997). 

III. METODE PENELITIAN
Fokus penelitian ini adalah dihasilkannya prototipe perangkat pembelajaran berdasarkan teori APOS yang valid dari segi isi (content) dan susunan (construct). Langkah-langkah yang dilakukan pada tahap penyusunan prototipe perangkat yang valid adalah sebagai berikut; (i) analisis kebutuhan, (ii) review literatur, (iii) merancang prototipe,  (iv) validasi pakar, dan (v) revisi dan evaluasi prototipe.
Analisis kebutuhan dilakukan dengan cara observasi lapangan, wawancara dengan dosen matematika dan mahasiswa. Selanjutnya peneliti melakukan review literatur tentang pembelajaran berdasarkan teori APOS dan menelaah kurikulum Aljabar Abstrak yang sedang digunakan saat ini.  Berikutnya, berdasarkan analisis kebutuhan dan review literatur peneliti merancang prototipe perangkat pembelajaran. Prototipe perangkat yang didisain mencakup topik-topik dalam Aljabar Abstrak yang akan diajarkan. 
Selanjutnya prototipe yang dihasilkan divalidasikan kepada dua orang pakar pembelajaran matematika, yaitu Dra. Dewi Murni, M.Si. dan Suherman, S.Pd.,M.Si. dari UNP. Kegiatan validasi difokuskan untuk menguji validitas isi dan validitas susunan. Validitas isi mengacu kepada kesesuaian materi dalam perangkat dengan kurikulum, sedangkan validitas susunan merujuk pada kesesuaian susunan perangkat dengan karakteristik pembelajaran berdasarkan teori APOS.
Berdasarkan hasil validasi pakar, prototipe direvisi dan dievaluasi. Selama revisi dan evaluasi peneliti melakukan diskusi dengan pakar. Diskusi dengan pakar difokuskan untuk menjawab beberapa pertanyaan seperti tertera pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1: Kisi-Kisi Pernyataan dalam Lembar validasi 
Objek yang Divalidasi	Metode Pengumpulan data	Instrumen	
Ruang lingkup pernyataan dalam lembar valisasi dimaksudkan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
-	Apakah isi perangkat sudah memuat materi Aljabar Abstrak?
-	Apakah isi perangkat sudah terurut dengan baik?
-	Apakah isi perangkat sudah sesuai dengan karakteristik pembelajaran berdasarkan teori APOS? 
-	Apakah tujuan pembelajaran dari setiap topik dalam perangkat sudah dirumuskan dengan baik?
-	Apakah isi perangkat sudah relevan dengan tujuan yang dirumuskan?
-	Apakah Bahasa Indonesia yang digunakan dalam perangkat sudah baik?
-	Apakah penataan perangkat (tata letak, ukuran huruf, pewarnaan) sudah baik?	Diskusi dengan pakar pembelajaran Matematika dari UNP	Lembar validasi	

Dengan melakukan kelima langkah yang diuraikan di atas, peneliti yakin dapat memperoleh perangkat pembelajaran berdasarkan teori APOS yang valid. 

1V. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Analisis Kebutuhan	
	Kegiatan analisis kebutuhan dilakukan dengan melakukan wawancara secara informal dengan seorang teman sejawat dan dua orang mahasiswa di jurusan matematika FMIPA UNAND,  dari hasil wawancara tersebut terungkap bahwa: (1) Dosen jurusan matematika mempunyai minat dan keinginan yang kuat untuk meningkatkan potensi dan pengalamannya dalam melaksanakan pembelajaran yang berpusat pada mahasiswa, tetapi mereka belum tahu bagaimana merancang bahan ajar untuk pembelajaran yang berpusat pada mahasiswa. (2) Mahasiswa mempunyai keinginan yang kuat agar dapat memahami Aljabar Abstrak secara baik, tetapi mereka merasa bahwa bahan ajar dan metode yang digunakan dosen dalam mengajar belum banyak membantu mereka.   
4.2 Review Literatur 
	Dari hasil telaah kurikulum Aljabar Abstrak untuk bobot kuliah 3 sks diperoleh bahwa topik-topik yang dimuat dalam perangkat pembelajaran Aljabar Abstrak meliputi: group, subgroup, koset, subgroup normal, group faktor, pemetaan homomorfisma serta semua sifat yang terkait dengan group, subgroup, koset, subgroup normal, group faktor, pemetaan homomorfisma. Sedangkan dari hasil kajian terhadap karakteristik pembelajaran matematika berdasarkan teori APOS diperoleh bahwa perangkat pembelajaran matematika berdasarkan meliputi: Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP), Lembar Kerja Laboraorium (LKL) yang berisi fungsi-fungsi ISETL, dan Lembar Kerja Diskusi Kelas (LKDK).     
4.3 Prototipe Perangkat Pembelajaran Aljabar Abstrak	
	Berdasarkan hasil review literatur, perangkat pembelajaran Aljabar Abstrak yang dirancang meliputi RPP, LKL, dan LKDK untuk masing-masing topik dalam matakuliah Aljabar Abstrak. Berikut ini adalah salah satu contoh isi dari LKL LKDK.  
a. Salah satu contoh isi LKL.
    Gunakan fungsi inverse untuk mengisi Tabel 2 berikut. 
Tabel 2: Hasil Penerapan Fungsi inverse pada Beberapa Group
Group	Apakah (ab)-1 = b-1 a-1 	
	Tebakan	Hasil Komputer	
(Z20, +20 )
A = 15, b = 17			
(S4,  ○ )
a = [4,3,2,1], b =  [4, 2,1,3]			
(Z5-nol, •5 )
a = 4, b = 3			

b. Salah satu contoh isi LKDK
Berdasarkan Tabel 2, buatlah suatu teorema yang berhubungan dengan invers dari ab.
Teorema 1.
Jika (G,) suatu group dan a,bG, maka (ab)-1 = ....................................................	
4.4 Kevalidan Perangkat Pembelajaran Berdasarkan teori APOS  
	Perangkat pembelajaran Aljabar Abstrak yang telah dirancang selanjutnya divalidasi dan dikonsultasikan kepada dua orang validator, yaitu Dra. Dewi Murni, M.Si. dan Suherman, S.Pd,.M.Si. dari UNP. Pada penilaian secara umum, kedua validator menyatakan bahwa perangkat pembelajaran aljabar abstrak yang dirancang sudah valid. Guna perbaikan perangkat ini, kedua validator menyarankan beberapa perbaikan pada beberapa LKL dan LKDK, misalnya pemilihan jenis huruf yang dipakai dan adanya beberapa bukti yang belum ditulis secara lengkap. 
4.5 Revisi dan eveluasi terhadap perangkat pembelajaran 
	Berdasarkan masukan dari validator, selanjutnya LKL dan LKDK diperbaiki dan dikonsultasikan lagi dengan validator. Untuk melihat tingkat praktikalitas dan efektifitas maka perangkat pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS perlu diujicoba pada perkulihan  Aljabar Abstrak semester ganjil 20010/2011. Dari hasil ujicoba tersebut nanti akan dievaluasi apakah perangkat pembelajaran masih perlu direvisi. Tingkat praktikalitas dilihat dari sejauh mana  dosen dan mahasiswa dapat menggunakan perangkat pembelajaran dalam perkuliahan Aljabar Abstrak. Sedangkan tingkat efektifitas dilihat dari sejauh mana perangkat pembelajaran ini dapat meningkatkan aktifitas dan hasil belajar mahasiswa. 
  
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
      Berpijak pada perumusan masalah, metodologi, dan hasil yang telah dicapai dapat disimpulkan bahwa berdasarkan validasi oleh pakar, perangkat pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS yang terdiri dari Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP), Lembar Kerja Laboratorium (LKL), Lmbar Kerja Diskusi Kelas (LKDK), dinyatakan valid sehingga dapat diimplementasikan dalam pembelajaran Aljabar Abstrak.
5.2 Saran
1. Bagi dosen Aljabar Abstrak di universitas lain dapat menggunakan perangkat pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS ini sebagai salah satu alternatif penyajian materi kuliah.     
2.  Hasil penelitian dapat dijadikan landasan bagi peneliti lain untuk mengembangkan perangkat pembelajaran pada tingkat universitas.
		
DAFTAR PUSTAKA
Arnawa, IM. et al. (2007). “Applying The APOS Theory to Improve Student Ability to Prove in Elementary Abstract Algebra”. Journal of The Indonesian Mathematical Society. 13(1), 133-148.    
Asiala, M. et al. (1997). “A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Education”. Dalam E. Dubinsky et al. (ed.).  Reading in: Cooperative  Learning for undergraduate Mathematics. Washington DC: The Mathematical Association of America. 
Astuti, P., Garminia, H., dan Adithya, IG. (2004). Memanfaatkan ISETL untuk Membantu Mahasiswa Belajar Struktur Aljabar. Laporan Hibah Pengajaran Proyek QUE Jurusan Matematika ITB: tidak diterbitkan.  
Ayers, T. et al. (1988). “Computer Experiences in Learning Composition of Functions”. Journal for Research in Mathematics Education. 19 (3), 246-259.
Dubinsky, E. (1986). “Teaching Mathematical Induction I”. Journal of Mathematical Behavior, 6(1), 305-317.
Dubinsky,E. & Tall, D. (1991). “Advanched Mathematical Thinking and Computer”. Dalam D. Tall (ed.).  Advanched Mathematics Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.  
Dubinsky,E. (1991). “Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking”. Dalam D. Tall (ed.). Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Dubinsky, E. et al. (1994). “On Learning Fundamental Concepts of Group Theory”. Educational Studies in Mathematics, 27(3), 267-305.
Dubinsky, E. (1990). “Teaching Mathematical Induction II”. Journal of Mathematical Behavior, 8, 305-317.
Dubinsky, E. & Leron, U.(1994). Learning Abstract Algebra with ISETL. New York: Springer-Verlag.
Dubinsky,E. & McDonal, M. (2001). “APOS: A Construktivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research”. Dalam D. Holton (ed.).  The Teaching and Learning of Mathematics at University Level. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Enyedy, N. (2003). “Knowledge Construction and Collective Practice: At The Intersection of Learning, Talk, and Social Configuration in a Computer-Mediated Mathematics Classroom”. Journal of The Learning Science, 12(3), 361-407.
Findel, B.R. (2001). Learning and Understanding in Abstract Algebra. Disertasi. New Hampshire: Tidak diterbitkan. 
Guskin, A.E. (1997). “Reducing Student Cost and Enhancing Student Learning”. Dalam E. Dubinsky et al. (ed.).  Reading in: Cooperative  Learning for Undergraduate Mathematics. Washington DC: The Mathematical Association of America.  
Herstein, I.N. (1975). Topics in Algebra. New York: John Wiley & Sons.
Ibrahim, M. et al. (2000). Pembelajaran Kooperatif. Surabaya: Unesa University Press.
Leitze, A. R. (1996). “To Major or Not Major in Mathematics? Affective Factors in The Choice of Major Decision”. Dalam J. J. Kaput et. al. (ed.). Research in Collegiate Mathematics Education II. Rhode Island: American Mathematical Society.   
Leron, U.& Dubinsky, E. (1995). “An Abstract Algebra Story”. American Mathematical monthly, 102 (3), 227-242.
Malone, J. & Krismanto, A. (1993). “Indonesian Students’ Attitudes and Perceptions Toward Small Group Work in Mathematics”. Journal of  Science and Mathematics Education in South East Asia, 16 (2), 1-7. 
NCTM (2001). Principle and  Standards for School Mathematics. Reston VA: The National Council of Teachers of Mathematics.
Slavin,R.E. (1994). Cooperative Learning: Theory, Research, and Practice. Boston: Allyn and Bacon. 
Slavin,R.E. (1997). “When Does Cooperative Learning Increase Student Achievement?”. Dalam E. Dubinsky et al. (ed.).  Reading in: Cooperative  Learning for Undergraduate Mathematics. Washington DC: The Mathematical Association of America.  
Smith, R. S. (2004). A Collaborative Learning Constructivist Approach to Abstract Algebra Using ISETL. [online]. Tersedia: http://www.central edu/MAANotes/colection /smith asp. [17 Oktober 2004]. 
Suharta, G.P. (2002). “Matematika Realistik: Apa dan Bagaimana”. Jurnal Pendidikan dan Kebudayaan. 38(8), 641-652.
Suparno, P. (1997). Filsafat Konstruktivisme dalam Pendidikan. Jogjakarta: Kanisius.
Suryadi, D. (2005). Penggunaan Pendekatan Pembelajaran Tidak Langsung serta Pendekatan Gabungan Langsung dan Tidak dalam Rangka Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematika Tingkat Tinggi Siswa SLTP. Disertasi pada Universitas Pendidikan Indonesia. Bandung: tidak diterbitkan.

Pendidikan

ARTIKEL ILMIAH
PENELITIAN HIBAH BERSAING

PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN 
BERDASARKAN TEORI APOS 
 UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PERKULIAHAN 
ALJABAR ABSTRAK

Peneliti:
Dr. I Made Arnawa, M.Si.
Drs. Hendra Syarifuddin, M.Si
Dr. Muhafzan, M.Si.

Dibiayai oleh DP2M Ditjen Dikti Depdiknas
Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penelitian
No: 126.a/H.16/PL/HB-PHB/IV/2009 

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS PADANG
NOVEMBER, 2009