Teorema Darboux's sebagai sifat nilai tengah dari furunan fungsi

Safrizal, Safrizal (2008) Teorema Darboux's sebagai sifat nilai tengah dari furunan fungsi. Masters thesis, Program Pascasarjana.

PDF (Teorema Darboux's sebagai sifat nilai tengah dari furunan fungsi) - Supplemental Material Available under License Creative Commons Public Domain Dedication. Download (506Kb)

Abstract

Turunan fungsi merupakan bagian kalkulus yang sangat berperan dalam perkembangan ilmu pengetahuan. Dalam prakteknya peranan turunan fungsi yang sering digunakan adalah masalah nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Dengan turunan dapat ditentukan perubahan kemonotonan di sekitar titik c yang termuat dalam d sebagai konsekuensinya menghasilkan nilai ekstrim relatif di titik c tersebut. Akibat dari pengertian ini, jika turunan fungsi f tersebut ada pada titik tersebut, maka f' (c)=0. Selanjutnya berdasarkan Teorema Rolle's, jika /adalah kontinu pada interval tutup fa,bf dan nilai turunan firngsi f ada untuk setiap titik pada interval buka (a,b) dengan f(a)=f(b)=0, maka paling sedikit ada satu titik ce(a,b) sedemikian sehingga f(c)=0. Kemudian dalam Teorema Nilai Tengatr Bolzano's menyatakan bahw4 jika f : I - R fungsi kontinu pada suatu interval tutup [a,b] dan k E R memenuhi f(a)<k<f(b), maka ada sebuah titik c E I antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = k . Berdasarkan teorema ini, range f merupakan suatu interval di R. Oleh karena itu, sifat ini diyakini ekivalen dengan sifat kekontinuan fungsi. Teorema tersebut memunculkan pengertian teorema nilai tengah pada suafu turunan fungsi, sebab turunan fungsi pada suafu interval merupakan suatu fungsi. Hal ini sesuai dengan pendapat Gaston Darbaux pada tahun 1975 yang menyatakan bahwa setiap turunan fungsi pada suatu interval I memiliki nilai antara, walaupun fungsi turunan itu tidak kontinu. Seperti yang dinyatakannya dalam Teorema Darboux's, jika f diferensiabel pada I =[a,b] dan k adalah suatu bilangan antara f'(a) dan f'(b), maka terdapat paling sedikit sebuah titik c E (a,b) sedemikian sehingga f'(c) = k. Penelitian ini dititikberatkan pada pengkajian sifat nilai tengah dari turunan fungsi pada suatu interval tutup [a,b]. Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah khasanah ilmu tentang teori turunan fungsi, khususnya mengenai Teorema Darboux's sebagai sifat nilai tengah dari turunan fungsi. Penelitian ini dilaksanakan di perpustakaan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Padang sejak bulan mei 2007 sampai dengan maret 2008 dengan metode studi literatur, yaitu mengumpulkan literatur yang relevan sebagai sumber utama. Selanjutnya, penulis mempelajarinya dengan mengurutkan, mengklasifikasikan, mengelompokkan, menganalis dan mereduksinya kedalam bentuk Teorema Darboux serta membuktikannya. Pada tahap ini diberikan pembahasan dan contoh-contoh tentang pengunanaan konsep dan aplikasinya terhadap turunan fungsi dalam interval tersebut. Kemudian dianalisis dan ditarik kesimpulan bahwa Teorema Darbotrx merupakan sifat nilai tengah dari turunan fungsi tersebut. Teorema Nilai Tengah Bolzano's menyebutkan bahwa" misalkan I adalah suatu interval dan f :I-R adalah suatu fungsi kontinu pada suatu interval I. Jika a,b E I dan jika k E R memenuhi f(a) < k < f(b), maka ada sebuah titik c �E I antara a dan b sedemikian hingga f(c)=k. Hal ini dapat ditunjukkan dengan mengambil kasus pada interval tersebut dengan a<b dan dengan memisalkan suatu bentuk fungsi g(x) =f(x) - k. Dengan mengambil pemisalan fungsi tersebut, maka akan berakibat g(a) < 0 < g(b). Berdasarkan Teorema Lokalisi Akar-akar dari suatu fungsi, akan terdapat sebuah titik c dengan a<c<b sehingga berlaku 0=f(c)-k. Akibatnya f(c)=k. Jika diambil suatu kasus & < a pada interval tersebut, maka dapat misalkan suatu bentuk fungsi h(x)=k-f(x) sedemikian sehingga h{b)<ach@}. oleh karena itu akan terdapat sebuah titik c dengan b<c<a sehingga berlaku O=h(c)=k-f(c). Akibatnya f(c) = k. Akibat dari teorema tersebut muncul suatu pengertian yang menyatakan sifat nilai tengah dari turunan suatu firngsi, yang selanjutnya disebut dengan Teorema Darboux's. Namun pembentukan teorema ini didasarkan pada analogi pembentukan Teorema Bolzano's. Oleh sebab itu dapat disimpulkan suatu pengertian dari Teorema Darboux's yang menyatakan bahwa jika sebuah fungsi f diferensiabel pada setiap titik pada suatu interval /, maka tunrnan fungsi f atau fungsi f' akanmempunyai suatu sifat nilai tengah. Hal ini merupakan salah satu akibat langsung dari sifat kekontinuan dalam pernyataan Teorema Bolzano's. Akan tetapi dalam pernyataan Teorema Darboux's nilai tengah untuk turunan fungsi tersebut pada suatu interval tidak perlu fungsi yang kontinu.

Actions (login required)

View Item